CALCULO VECTORIAL, HACIA EL EXITO

CAPITULO II

FUNCIONES VECTORIALES.

2.1 Introducción

Hasta ahora solo se ha trabajado en dos dimensiones para realizar cálculos matematicos y un sinnúmero de operaciones.

Muchos de los problemas comunes vienen expresados en términos de varias variables, asi por ejemplo el volumen de un cilindro:

o el trabajo efectuado por una fuerza son funciones de dos variables.

Por lo tanto para definir una función de dos o tres variables es similar a como se hace para una sola variable.(http://yoaoaliendres-mate3.blogspot.com/)

Figura1: Trayectoria de una curva en R3
(Cálculo de varia variables, Steward)

2.2 Formas de notación :

hay tres formas de notación para estas funciones las cuales son:

1.- En formas de vector:

2.- Con i,j,k

3.- En forma paramétrica:

2.3 Operaciones Básicas:

2.3.1 Dominio

El dominio de una función vectorial es la intersección del dominio de cada una de sus funciones escalares:

2.3.2 Derivada

La derivada de una función vectorial es la derivada de cada una de sus funciones escalares.

2.3.3 Limites

El limite de una función vectorial es el limite de cada una de sus funciones escalares.

Se dice que una función vectorial es continua ssi cada uno de sus componentes es continua.

2.3.4 Integración

La integración de una función vectorial será la integral de cada una de sus funciones escalares.

2.4 Análisis de la función:

Las diferentes operaciones matemáticas que le aplican a una función vectorial tienen ciertos significados los cuales se analizan a continuación.

Considerare a

F(t)

como la trayectoria de una partícula en el espacio entonces, al sacar su primera derivada se obtiene un vector tangente a la trayectoria en un punto específico que representa el vector velocidad:

Figura 2: El vector tangente que representa el vector velocidad.
http://www.plusformacion.com/Recursos/r/Analisis-vectorial-tensorial

Al sacar la segunda derivada se obtiene el vector aceleración

figura 3 : Vector aceleración
http://franciscomatematicas3.blogspot.com/p/derivadas-de-funciones-vectoriales.html

2.5 Vector tangente unitario

Vector tangente normal

Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t).

Vector normal unitario
Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura  = 1/k se llama radio de curvatura.

Vector binormal unitario
El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de C.

Como a medida que varía S el sistema se desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil.

Fórmulas

En donde el escalar t se llama torsión. El recíproco de la torsión O = 1/t es el radio de torsión.

figura 4: Plano normal, osculador y rectificado.
http://franciscomatematicas3.blogspot.com/p/vector-tangente-unitario.html

El plano osculador a una curva en un punto P es el que contiene a la tangente y a la normal principal en P.

El plano normal es el que pasa por P y es perpendicular al plano tangente.

El plano rectificante es el que pasa por P y es perpendicular a la normal principal.

2.6 Funciones de varias variables.

Dominio: El dominio de f sera todo el plano xoy en R^n, es una region de este plano.

Limites y continuidad:

Cuando se trabaja en el plano x oy el dominio tan solo es una secesión infinita de puntos contenidos en una recta pero en el espacio es un número infinito de puntos que forman un plano, aunque como se dijo antes las operaciones siguen el mismo metodo que en dos dimensiones.

Hablando claramente del limite en R^2 es un valor pero ya en R^3 es una circunferencia que se define como:

Figura 5: Representación gráfica de un limite de varias variables.
http://www.wikimatematica.org/images/7/79/Limite-2var-def.jpg

NOTA: En este caso para sacar el limite de estas funciones y demostrar su continuidad, ya no se toma como referencia hacer tan solo un reemplazo pues ya no es solo una recta si no, un plano que puede tener varias curvas que rodeen el punto que se analice entonces se harán varios reemplazos en dicho limite, si despues de hacer todos estos reemplazos el resultado es constantemente igual se supondra que el limite existe, y para estar completamente seguro hay dos métodos de demostración, el uno es utilizando artificios matemáticos y la definición anterior.

El otro método es haciendo un cambio de variables con las coordenadas polares (cabe recalcar que este método solo se utiliza en funciones con cociente si se utilizara en otra función su análisis se complicaría ) por r y teta

El cambio de variable seria:

En caso de que la función resulte ser discontinua evitable, se la redefine para culminar el ejercicio.

2.7 Derivadas parciales.

En R2 se acostumbro a derivar con una variable lo cual era normal, en funciones de varias variables hay como su nombre lo indica mas de una variable entonces cuando se deriven estas funciones de debe indicar con respecto a que variable se va a derivar:

Figura 6: Representación gráfica de la derivada parcial.
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node2.html

Cuando se indique con respecto a que variable se va a derivar, se le considera a las otras variables existentes como constantes.

INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA:

Geométrica: Es la pendiente de la recta tangente a un punto.

Física: Es una razón de cambio que indica cuanto varia f(x,y) si xoy varían, manteniendo una de ellas fija.

2.8 Ecuación del plano tangente a la superficie z=f(x,y)

El incremento de la funcion puede ser de tres formas:

1.- con respecto a x

2.- Con respecto a y

3.- Incremento total

según esto:

2.9 Regla de la cadena:

También se puede derivar con respecto a otra función que no este en la ecuación haciéndose esta la variable independiente, las variables que antes eran independientes pasarían a ser las aparentes y "z" seguiría siendo la variable dependiente:

NOTA: el número de derivadas dependerá del número de variables independientes.

2.10 Derivadas de orden superior:

En este caso la segunda derivada viene dada por:

NOTA: Se puede seguir derivando considerando bien el sentido que se le de a la derivada.

CALCULO VECTORIAL

-CAPITULO I

1.1 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO:

1.1.1 En dos dimensiones (F(x,y)=0)

El estudio de la geometría analítica en el espacio primero necesitara de los conocimientos básicos de una geometría en el plano.

La geometría en el plano trabaja tan solo con dos variables que son x ^ y, en la cual una depende de la otra ya sea "x" o "y".

y=f(x) x=f(y)

En el plano si una variable esta en función de la otra generara una curva (figura 1).

Figura 1:Circunferencia con centro (h,k), se genera con la ecuación

(http://www.eva.com.mx/sia/materias/mat_056/podi/U9_liga2.html)

En la ecuación de la circunferencia la función se la puede hacer explicita despejando cualquiera de las dos variables.

Sistema de funciones implicitas: A la intersección de dos ó mas funciones se la denomina sistema de funciones implícitas, si el sistema tiene solución, significa que las soluciones corresponden a los puntos de intersección de las curvas en el plano (figura 2).

Figura 2: intersección entre dos funciones, los puntos comunes de las
dos funciones serán la solución del sistema.
(http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_
RESOURCE/U10_L2_T2_text_container_es.html

1.1.2 En tres dimensiones F(x,y,z)=0

Ya con los conocimientos básicos en el plano ahora se puede hablar sobre gráficas en tres dimensiones o también llamadas en el espacio.

En el espacio se trabaja con tres variables x, y ^ z, en donde una variable esta en funcion de las otras dos ya sea "x", "y" ó "z".

x=f(y,z) y=f(x,z) z=f(x,y)

En el espacio si una variable esta en función de la otra ó otras dos se genera una superficie (figura 3).

x²+ y² + z² = R^{2

Figura 3:Representación en el espacio de la superficie esférica.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera)}

A la ecuación de las superficie esférica se la puede hacer explicita despejando cualquiera de las tres variables y así una quedaría en función de las otras dos.

NOTA: Por conveniencia se tomara al eje vertical como "z", al eje horizontal como "y" y al eje inclinado como "x".

GENERATRIZ: Es una linea que a causa de su movimiento genera una figura geométrica, en este caso generaría la superficie.

No siempre participan las 3 variables en una función , tal que la variable dependiente estaría en función tan solo de una y no de las dos, si sucede este caso se dice que la generatriz es paralela al eje de la variable no participante. (figura 4)

Figura 4a: Plano con generatriz paralela al eje x, es decir F(y,z)=0 con x=0

Figura 4b: Plano con generatriz paralela al eje y, es decir F(x,z)=0 con y=0

Figura 4c: Plano con generatriz paralela al eje z, es decir F(x,y)=0 con z=0

Figura 4: Los tres casos distintos en donde participan solo dos variables y la tercera es cero.

(http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/4-curvas-superficies/index.html)

NOTA: Si tan solo participara una variable la generatriz seria paralela a los dos ejes restantes, teniendo los siguientes casos:

F(x)=0 y y=0, z=0 con generatriz paralela a los ejes y ^ z.
F(y)=0 y x=0, z=0 con generatriz paralela a los ejes x ^ z.
F(z)=0 y y=0, x=0 con generatriz paralela a los ejes y ^ x.

Sistema de funciones implicitas: A la intersección de dos ó mas funciones se la denomina sistema de funciones implícitas,ahora, si es en el espacio dependería del número de funciones que participaran en el sistema.
a) Si tan solo participasen dos funciones su intersección generaría una curva. (figura 5)

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{rcl} x^2 + y^2 + z^2 & = & 10 \\ & & \\ y+z & = & 4 \\ \end{array}%% \right.\end{displaymath}$

Figura 5: Sistema de dos ecuaciones en el espacio,cuya intersección genera una circunferencia.

(http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/2-graficos-funciones/)

b) Si participasen tres o mas funciones generarían puntos en común entre las funciones participantes.(figura 6)

Figura 6: Intersección de tres planos que en este caso generaria tan solo un punto en común entre los tres planos.
(http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Seminario/paginas/Seminario_03/)

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1.2 LA RECTA EN R3.

1.2.1 ecuación de la recta:

En el espacio una recta viene determinada por un punto A (x₀,y₀,z₀) y un vector u=(l,m,n), cuya dirección es la recta que pasa por los puntos A y P (x,y,z). llamando a u vector director que irá desde el punto A hasta el punto P. La distancia que separa A de P sera "t veces" el vector u.(figura 7)

Figura 7: Gráfica tridimensional de una recta.
(http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-renovables/MATLAB/simbolico/geometria/geometria.html)

Hablando de la recta, hay tres maneras distintas de representarla las cuales son:

Ecuación vectorial.
Ecuaciones paramétricas.
Ecuaciones canónicas, cartesianas o simétricas.

REPRESENTACIÓN: En futuros ejercicios que nos pida la ecuación de la recta se necesita los siguientes datos.

1.- CASO 1

Se necesitaran de los datos: u=(a,b,c)
A=(ro) donde ro =(xo,yo,zo)

La ecuación vectorial es:

r = r0 + tu

Las ecuaciones parametricas serán:

_________________________________________

Las ecuaciones canónicas serán:

_________________________

2.- CASO 2

En este caso se necesitaran como datos dos puntos pertenecientes a la recta.

M1(ro) donde ro=(xo,yo,,zo)
M2(r1) donde r1=(x1,y1,z1)

La ecuación vectorial sera:

r = r1 + t(r1-ro)

Las ecuaciones canónicas serán:

1.2.2 Distancia de un punto a una recta:

Para encontrar la distancia entre un punto y la recta se necesitan los siguientes datos:
-r = r0 + ta
- M1(r1)

Figura 8: Representación gráfica de la distancia entre un punto y la recta.

La ecuación de la distancia sera:

__________________________

1.2.3 Distancia entre dos rectas

Para encontrar la distancia entre dos rectas se necesitan los siguientes datos:
-r = r01 + ta
-r = r02 + ta

Figura 9: Representación gráfica de la distancia entre dos rectas.

_________________________

1.2.4 Interpretación del producto mixto

En el caso de la distancia entre dos rectas se aplico el producto mixto, es decir: A.BXC

Geometricamente este producto mixto es el volumen de un paralelepípedo.(figura 10).

Figura 10: El volumen del paralelepípedo vendría dado por el producto mixto entre los vectores [U,V,W]
(http://www.tmoya.es/geometria/espacio/producto.html)

V=U.VxW

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1.3 EL PLANO EN R3

Así como la recta viene determinada por " un punto A (x₀,y₀,z₀) y un vector u=(l,m,n), cuya dirección es la recta que pasa por los puntos A y P (x,y,z)".

El plano dependería de como mínimo un punto y un vector normal n ó tres puntos.

Hay cuatro tipos de ecuaciones diferentes para representar matemáticamente a un plano siendo estas:

Ecuación vectorial del plano.
Ecuación general del plano.
Ecuación segmentaria del plano.
Ecuación normal del plano.

1.3.1 Ecuación vectorial del plano.

La representación por esta esta ecuación necesita de los siguientes datos:

P(r0) donde r0=(x0,y0,z0)

n=(A,B,C)

figura 11: Representación gráfica de un plano en el espacio cuya ecuación depende de un punto y el vector normal.
(http://www.aulafacil.com/cursos/l10897/ciencia/matematicas/planos-en-el-espacio/ecuacion-normal)

La ecuación vectorial del plano es:

(r-r0).n=0

1.3.2 Ecuación general del plano.

Esta ecuación se deriva de la ecuación vectorial reemplazando r por (x,y,z); r0 por (x0,y0,z0) y n por (A,B,C), realizando operaciones matematicas le llega a la ecuación:

Ax+By+Cz+D=0

* D= -(Ax0+By0+Cz0) y es un número debido a que todos estos valores son numéricos.

*Como se menciono anteriormente si A,B ó C es cero la gráfica tendera una generatriz paralela a su respectivo eje, lo mismo se dijo si dos variables se hacen cero la generatriz será paralela a sus respectivos ejes.

1.3.3 Ecuación segmentaria del plano.

Un plano con sus tres componentes x,y, ^ z, corta obligatoriamente los tres ejes en un punto especifico, estos puntos específicos son:
P1(a,0,0)
P2(0,b,0)
P3(0,0,c)

Para llegar a determinar los valores de a,b y c se divide a la ecuación general del plano para D
Entonces quedaría la expresión:

Donde: a= -D/A; b=-D/B ; c=-C/D

Figura 12: Representación gráfica de la ecuación segmentaria del plano, en este se detallan los cortes en x, y ^ z.
(http://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-un-plano.htm)

1.3.4 Ecuación normal del plano:

La ecuación normal del plano se caracteriza por trabajar con el unitario del vector normales decir con sus ángulos directores,entonces los datos necesarios seran:

Figura 13: Representación gráfica de la ecuación normal.

la ecuación viene dada por:

1.3.4.1 Normalización de la ecuación general del plano:

Para normalizar la ecuación del plano se hace uso de un factor normalizante:

Que multiplicara a compenente de la ecuación, es decir:

El factor normalizante es:

NOTA: El factor normalizante debe ser de signo contrario a D

1.3.5 Distancia entre un punto y el plano:

La distancia entre un punto y el plano debe representar su distancia perpendicular (figura 14).

Figura 14: Representación gráfica de la distancia entre un punto y el plano.
"Dicha distancia es perpendicular al plano".

La distancia viene determinada por:

1.3.6 Plano determinado por tres puntos

Ya habia mencionado que para determinar la ecuación del plano se necesita o bien un punto y el vector normal o tres puntos (figura 15), ya estudiado el primer caso ahora se determinara la ecuación por tres puntos:
Datos:

P1(r1)
P2(r2)
P3(r3)

Ecuación del plano que pasa por tres puntos

Figura 15: Plano determinado por 3 puntos.
(http://www.aulafacil.com/cursos/l10895/ciencia/matematicas
/planos-en-el-espacio/ecuacion-del-plano-que-pasa-por-tres-puntos)

El plano viene determinado por la siguiente ecuación:

(r-r1).(r2-r1)x(r3-r1)=n

NOTA: Si el producto mixto da como resultado 0, entonces se dice que los tres vectores son coplanares.

1.3.7 Recta determinada por dos planos.

Se menciono anteriormente que en un sistema de ecuaciónes de dos funciones se generaban curvas, pues bien en la intersección de dos planos se genera una recta (figura 16), para representar de manera matemática a esta recta se tiene:
Datos:

Figura 16: Recta formada por dos planos.
(http://piziadas.com/2012/04/sistemas-de-representacion-incidencia
-intersecciones-geometria-descriptiva.html)

Los vectores normales serán:

Haciendo un productos cruz entre estos dos vectores se obtiene un vector perpendicular a dichos vectores y este sera el vector director de la recta que se quiere calcular, obteniendo:

Luego se toma un punto de referencia con respecto a los planos esto se logra haciendo 0 a cualquiera de las variables en las dos ecuaciones, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

PARA X=0