CALCULO VECTORIAL, HACIA EL EXITO: MAYO

CAPITULO II

FUNCIONES VECTORIALES.

2.1 Introducción

Hasta ahora solo se ha trabajado en dos dimensiones para realizar cálculos matematicos y un sinnúmero de operaciones.

Muchos de los problemas comunes vienen expresados en términos de varias variables, asi por ejemplo el volumen de un cilindro:

o el trabajo efectuado por una fuerza son funciones de dos variables.

Por lo tanto para definir una función de dos o tres variables es similar a como se hace para una sola variable.(http://yoaoaliendres-mate3.blogspot.com/)

Figura1: Trayectoria de una curva en R3
(Cálculo de varia variables, Steward)

2.2 Formas de notación :

hay tres formas de notación para estas funciones las cuales son:

1.- En formas de vector:

2.- Con i,j,k

3.- En forma paramétrica:

2.3 Operaciones Básicas:

2.3.1 Dominio

El dominio de una función vectorial es la intersección del dominio de cada una de sus funciones escalares:

2.3.2 Derivada

La derivada de una función vectorial es la derivada de cada una de sus funciones escalares.

2.3.3 Limites

El limite de una función vectorial es el limite de cada una de sus funciones escalares.

Se dice que una función vectorial es continua ssi cada uno de sus componentes es continua.

2.3.4 Integración

La integración de una función vectorial será la integral de cada una de sus funciones escalares.

2.4 Análisis de la función:

Las diferentes operaciones matemáticas que le aplican a una función vectorial tienen ciertos significados los cuales se analizan a continuación.

Considerare a

F(t)

como la trayectoria de una partícula en el espacio entonces, al sacar su primera derivada se obtiene un vector tangente a la trayectoria en un punto específico que representa el vector velocidad:

Figura 2: El vector tangente que representa el vector velocidad.
http://www.plusformacion.com/Recursos/r/Analisis-vectorial-tensorial

Al sacar la segunda derivada se obtiene el vector aceleración

figura 3 : Vector aceleración
http://franciscomatematicas3.blogspot.com/p/derivadas-de-funciones-vectoriales.html

2.5 Vector tangente unitario

Vector tangente normal

Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t).

Vector normal unitario
Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura  = 1/k se llama radio de curvatura.

Vector binormal unitario
El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de C.

Como a medida que varía S el sistema se desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil.

Fórmulas

En donde el escalar t se llama torsión. El recíproco de la torsión O = 1/t es el radio de torsión.

figura 4: Plano normal, osculador y rectificado.
http://franciscomatematicas3.blogspot.com/p/vector-tangente-unitario.html

El plano osculador a una curva en un punto P es el que contiene a la tangente y a la normal principal en P.

El plano normal es el que pasa por P y es perpendicular al plano tangente.

El plano rectificante es el que pasa por P y es perpendicular a la normal principal.

2.6 Funciones de varias variables.

Dominio: El dominio de f sera todo el plano xoy en R^n, es una region de este plano.

Limites y continuidad:

Cuando se trabaja en el plano x oy el dominio tan solo es una secesión infinita de puntos contenidos en una recta pero en el espacio es un número infinito de puntos que forman un plano, aunque como se dijo antes las operaciones siguen el mismo metodo que en dos dimensiones.

Hablando claramente del limite en R^2 es un valor pero ya en R^3 es una circunferencia que se define como:

Figura 5: Representación gráfica de un limite de varias variables.
http://www.wikimatematica.org/images/7/79/Limite-2var-def.jpg

NOTA: En este caso para sacar el limite de estas funciones y demostrar su continuidad, ya no se toma como referencia hacer tan solo un reemplazo pues ya no es solo una recta si no, un plano que puede tener varias curvas que rodeen el punto que se analice entonces se harán varios reemplazos en dicho limite, si despues de hacer todos estos reemplazos el resultado es constantemente igual se supondra que el limite existe, y para estar completamente seguro hay dos métodos de demostración, el uno es utilizando artificios matemáticos y la definición anterior.

El otro método es haciendo un cambio de variables con las coordenadas polares (cabe recalcar que este método solo se utiliza en funciones con cociente si se utilizara en otra función su análisis se complicaría ) por r y teta

El cambio de variable seria:

En caso de que la función resulte ser discontinua evitable, se la redefine para culminar el ejercicio.

2.7 Derivadas parciales.

En R2 se acostumbro a derivar con una variable lo cual era normal, en funciones de varias variables hay como su nombre lo indica mas de una variable entonces cuando se deriven estas funciones de debe indicar con respecto a que variable se va a derivar:

Figura 6: Representación gráfica de la derivada parcial.
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node2.html

Cuando se indique con respecto a que variable se va a derivar, se le considera a las otras variables existentes como constantes.

INTERPRETACIÓN DE LA DERIVADA:

Geométrica: Es la pendiente de la recta tangente a un punto.

Física: Es una razón de cambio que indica cuanto varia f(x,y) si xoy varían, manteniendo una de ellas fija.

2.8 Ecuación del plano tangente a la superficie z=f(x,y)

El incremento de la funcion puede ser de tres formas:

1.- con respecto a x

2.- Con respecto a y

3.- Incremento total

según esto:

2.9 Regla de la cadena:

También se puede derivar con respecto a otra función que no este en la ecuación haciéndose esta la variable independiente, las variables que antes eran independientes pasarían a ser las aparentes y "z" seguiría siendo la variable dependiente: